logogeniusLHS
BlogAbout

김홍종 미적분학 (3판) 탐구문제 풀이집

김홍종 교수님의 미적분학 교재 탐구문제 풀이를 정리한 페이지입니다.

개요

정오표

[2026. 05. 24.] 1장 7번 (⇐) 방향 증명 오류 수정

(⇐)

공집합이 아닌 아래로 유계인 집합 AA를 생각하자. AA의 하계 x0x_0와 AA의 원소 a0a_0를 임의로 잡으면 x0≤a0x_0\le a_0 이 성립한다. 이제 항상 xnx_n은 AA의 하계이고, ana_n은 AA의 원소가 되도록 두 수열을 구성할 것이다. 1≤i≤n1 \le i \le n 에 대해 xix_i와 aia_i가 모두 정해졌다고 하고, 중간점

mn=xn+an2m_n=\frac{x_n+a_n}{2}

을 고려하자. 만약 mnm_n이 AA의 하계라면 xn+1=mn, an+1=anx_{n+1}=m_n, \space a_{n+1}=a_n 으로 둔다. 반대로 mnm_n이 AA의 하계가 아니라면, mnm_n보다 작은 AA의 원소가 존재하므로 그런 원소중 하나를 골라 an+1a_{n+1}로 두고 xn+1=xnx_{n+1}=x_n으로 두자.

이 과정을 반복하면 모든 xnx_n은 AA의 하계이고, 모든 ana_n은 AA의 원소가 된다. 또한 두 수의 간격은 다음과 같이 매번 절반 이하로 줄어든다.

0≤an−xn≤a0−x02n0\le a_n-x_n\le \frac{a_0-x_0}{2^n}

따라서 an−xn→0a_n-x_n\to 0 이다. 한편 수열 (xn)(x_n)은 증가수열이고 위로 유계이므로 어떤 실수 LL로 수렴한다. 또한 an−xn→0a_n-x_n\to0 이므로 (an)(a_n) 역시 LL로 수렴한다.

이제 LL이 AA의 하한임을 보이자. 모든 xnx_n은 AA의 하계이므로, 임의의 a∈Aa\in A에 대해 xn≤a x_n\le a 이 성립한다. n→∞n \rightarrow \infty 의 극한을 취하면

L≤aL\le a

을 얻고, 따라서 LL은 AA의 하계이다. 한편 M>LM>L이면, an→La_n\to L이므로 충분히 큰 nn에 대해 an<Ma_n<M이다. 그런데 an∈Aa_n\in A이므로, MM보다 작은 AA의 원소가 존재하게 되어 MM은 AA의 하계가 될 수 없다.

결국 LL은 AA의 하계 중 가장 큰 값이다. 즉, LL은 AA의 하한이다.

FAQ (미적분학 1)

탐구문제 풀이집을 작성한 이유는 무엇인가요?

해당 풀이집을 만든 이유에는 크게 두 가지가 있습니다.

  • 저자에 따르면 탐구문제는 “다소 오랜 시간 동안 생각할 것을 요하는 문제들”입니다. 고찰을 통해 얻어낸 아이디어와 독창적인 풀이는 우리의 수학적 감각과 실력을 훨씬 더 높은 수준으로 올려줄 수 있습니다. 따라서 그런 풀이들을 혼자만 가지고 있는 것은 굉장한 낭비라고 생각합니다. 저는 이 풀이집을 통해 학생들이 다양한 아이디어를 토의하는 소통의 창을 만들고자 하였습니다.
  • 두 번째 이유는 간단한데, 제 이름을 남기기 위해서입니다. 비범한 천재들이 모인 서울대학교에 제 이름을 담은 풀이집을 공개한다는 것은 굉장한 영광이라고 생각합니다.

온전히 혼자만의 힘으로 다 풀었나요?

전체 문제의 85% 정도는 저 혼자 풀었습니다. 그러나 나머지 15% 문제의 경우 위키피디아, 나무위키, 논문 등에서 도움을 얻은 것도 있습니다. 복잡한 적분 문제의 경우 integral-calculator.com, 그래프가 그려지지 않을 때는 desmos.com, 무작위 대입이 필요할 때는 sagemath.org을 사용하였습니다. 이 모든 서비스를 제공해주신 분들께 감사드립니다. 또한 다양한 질문을 받아주신 수과토 분들께도 감사드립니다.

빨간색 글씨로 적혀져있는 것은 무엇인가요?

이전에도 언급하였듯이 저는 단순히 탐구문제를 푸는 것에서 그치지 않고 확장된 토의를 나누고자 하였습니다. 따라서 해당 문제에서 생각할 수 있는 아이디어나, 따름 정리, 재밌는 사실 등을 문제 밑에 빨간 글씨로 작성하였습니다. 만약 풀이집에 넣고 싶은 “빨간색 글씨”가 떠오르셨다면, 언제든지 제보해주세요.

오류를 제보하면 왜 선물을 주나요? 그리고 선물의 종류는 무엇인가요?

미적분학 1을 배우는 모두가 탐구문제를 풀 수 있는 실력을 가지고 있지는 않습니다. 또한 탐구문제를 푸는 것은 필수가 아니기에, 충분한 실력을 가지고 있음에도 관심을 안 가지는 사람이 많을 것이라 생각합니다. 따라서 탐구문제에 대한 관심을 늘리기 위해 이러한 이벤트를 생각했습니다.

정확한 기준은 아래와 같습니다.

  • 풀이에서 옳지 않은 식 (예를 들어 1=2) 이나 옳지 않은 논리 · 비어있는 논리를 발견하고, 그에 대한 올바른 풀이를 제시했을 경우
  • 단, 빨간색 글씨로 적혀있는 추가 문제의 해답을 제시하는 것은 해당되지 않음. 단순 자연어 오타(한글 맞춤법 오류 등)도 해당되지 않음.

선물은 5000₩ 상당의 음료로 생각하고 있고, 해당 가격을 크게 벗어나지 않는 범위 내에서 음료 선택은 자유롭습니다. 제 재정 상태에 따라 기준이 변경되거나 이벤트가 잠시 중된될 수도 있음을 미리 알려드립니다.

(2026. 05. 21. 추가) 해당 이벤트는 2026년 12월 31일까지 진행하겠습니다.

글씨가 너무 작아서 보기 어렵습니다.

갤럭시 탭으로 풀이를 작성할 때는 확대를 하면서 쓰니까 글씨가 작다고 못느꼈는데, 업로드를 하고 나니 확실히 글씨가 작네요. 불편을 끼쳐 드려 죄송합니다. 그나마 230% 정도로 확대를 해서 보면 읽기가 더 편한 것 같습니다.

미적분학 2 탐구문제도 풀 계획이 있나요?

저는 미적분학 1에 나오는 개념을 오래전부터 알고 있었어서 탐구문제를 이해하는데 큰 문제는 없었지만, 미적분학 2에 나오는 개념은 전부 처음 보는 개념들입니다. 그래서 솔직히 제가 풀 수 있을지 모르겠습니다. 만약 미적분학 2 탐구문제를 풀 정도의 실력이 생기고, 또 흥미를 느꼈다면, 풀이집을 작성해 공유하겠습니다.

© 2025 geniusLHS. All rights reserved.