Stein 복소해석학 교재 요약 및 풀이집 제작 후기

개요

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최근 군에 입대해 자대 배치를 받은 후, 열악한 환경으로 인해 프로그래밍 공부를 원활하게 할 수 없는 상황이 되었습니다. 그래서 저는 오랫동안 쉬고 있던 수학 공부를 다시 시작해보았습니다.

복소해석학 책을 산건 1년도 더 넘었지만, 그동안 한번도 끝까지 본 적이 없었습니다. 이 참에 제대로 한번 공부를 해보자는 생각이 들었습니다. 공부를 하다 보니 인터넷에 제대로 된 풀이집이 없다는 것을 알게 되었고, 직접 풀이집 제작까지도 도전하게 되었습니다.

이 글에서는 Stein 복소해석학 교재가 어떤 내용을 다루는지 소개하고, 직접 풀이집을 제작하며 느꼈던 점들을 공유하려 합니다.

STEIN 복소해석학 풀이집 바로가기: https://geniuslhs.com/solutions/stein-complex-analysis.pdf

교재 내용 요약

1장: 복소해석학의 기초

1장에서는 복소해석학을 배우기 위한 기본 개념들을 소개합니다. 그중에서도 복소해석학의 핵심 개념인 정칙함수는 특히 중요합니다. 복소함수 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$가 $z_0$에서 정칙(holomorphic)이라는 것은 미분계수

$$\begin{equation*} \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \end{equation*}$$

가 존재한다는 것을 뜻합니다. 수식 자체는 $f$가 실함수일 때와 똑같지만 중요한 차이점이 있습니다. 위 극한에서 복소수 $h$는 모든 방향에서 $0$으로 다가갈 수 있다는 것입니다. 즉 $x$축을 따라 $0$에 갈수도, 직선 $y=x$를 따라 갈수도, 나선 $r=\theta$를 따라 갈 수도 있습니다.

그렇기 때문에 복소함수 $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$가 정칙이 되기 위해서는 조금 까다로운 조건을 만족해야 합니다. 이를 살펴보기 위해 $h=h_1+i h_2$로 두고 $h$가 $x$축을 따라 $0$으로 다가갈 때와 $y$축을 따라 $0$으로 다가갈 때의 미분계수를 각각 계산해보면 다음과 같습니다.

$$\begin{equation*} \lim_{h_1 \to 0} \frac{f(z_0 + h_1) - f(z_0)}{h_1} = \lim_{h_1 \to 0} \frac{u(x_0 + h_1, y_0) + iv(x_0 + h_1, y_0) - (u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0))}{h_1} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \lim_{h_2 \to 0} \frac{f(z_0 + i h_2) - f(z_0)}{i h_2} = \lim_{h_2 \to 0} \frac{u(x_0, y_0 + h_2) + iv(x_0, y_0 + h_2) - (u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0))}{i h_2} = \frac{1}{i} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \end{equation*}$$

이 두 값이 같아야 하므로, 실수부와 허수부를 비교하면 다음과 같은 미분 방정식을 얻습니다.

$$\begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{equation*}$$

위 방정식을 코시-리만 방정식이라고 합니다. 반대로 어떤 복소함수가 열린 집합에서 코시-리만 방정식을 만족한다면 그 함수는 정칙함수임을 보일 수 있습니다.

결국 주어진 복소함수가 어떤 영역에서 정칙이기 위해서는 해당 영역의 모든 점에서 코시-리만 방정식을 만족해야 하므로 꽤나 까다로운 조건이라고 할 수 있겠습니다. 그러나 정칙함수들은 조건이 까다로운 만큼이나 아주 좋은 성질들을 가지고 있습니다. 예를 들어 정칙함수는 무한번 미분이 가능하고, 임의의 점 근방에서 멱급수를 전개할 수 있습니다. 이러한 성질들은 2장에서부터 본격적으로 다루기 시작합니다.

2장: 코시 정리와 그 응용

코시 정리는 폐곡선을 따라 정칙함수를 적분한 값이 항상 $0$이라는 내용을 담고 있습니다. 비록 간단해 보이는 사실이지만, 이 정리는 이후 다양한 정리의 증명에서 유용하게 사용됩니다. 코시 정리는 엄밀하게 다음과 같습니다. 함수 $f$가 열린 집합 $\Omega$에서 정칙이고 폐곡선 $\gamma$와 그 내부가 $\Omega$에 포함되어 있다면,

$$\begin{equation*} \int_\gamma f(z) dz = 0 \end{equation*}$$

이 성립합니다. 또한, 위 정리에서 함수 $f$와 경로 $\gamma$를 잘 선택하면 다음과 같은 적분 식을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{equation*} f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \end{equation*}$$

위 식에서 우변의 적분 안에 함수 $f$가 있는 것에 주목합니다. 만약 $f$가 미분가능하면, 적절한 식 변형을 통해 좌변의 $f(z)$가 이계미분 가능함을 보일 수 있습니다. 그러면 다시 적분 안의 $f$가 이계미분 가능하므로, 좌변의 $f(z)$가 삼계미분 가능하게됩니다. 결국 이 과정을 반복하면 모든 정칙함수는 무한번 미분 가능하게 됩니다. 이로부터 다음과 같은 흥미로운 사실도 얻을 수 있습니다.

• 항등 정리: 영역(연결된 열린집합)에 정의된 두 정칙함수가 비어있지 않은 열린 집합에서 일치하면 영역 전체에서 일치합니다.
  좀 더 쉬운 예시를 들어보겠습니다. 복소평면 전체에서 정칙인 두 함수 $f, g$를 생각합니다. 만약 이 두 함수가 작은 원판 $\{z : |z| < 0.00001\}$의 각 점에서 같은 함숫값을 가진다면, 그 두 함수는 복소평면 전체에서 일치한다는 것입니다. 이 신기한 사실은 이후에 해석적 연속이라는 개념에 사용됩니다.

• 리우빌 정리: 유계인 전해석함수는 상수함수입니다.
  예를 들어 전해석함수지만 상수함수가 아닌 $\sin(z), \sin(\sin(z))$ 같은 함수들은 유계가 아님을 알 수 있습니다.

3장: 유리형 함수와 로그함수

2장 내용을 바탕으로 복소해석학에 대한 더 깊은 논의를 나누는데, 중요한 개념을 딱 짚을 수 없을 만큼 다양하고 방대한 내용을 다룹니다.

우선 복소함수의 특이점, 즉 미분 불가능한 점들의 종류에 대해 배웁니다. 이는 총 세가지로, 제거가능한 특이점, 극, 본질적 특이점으로 나뉩니다. 제거가능한 특이점은 사실 그 점에서 정칙이 되도록 함수를 확장할 수 있어서 아무 문제가 되지 않습니다. 본질적 특이점은 이해하기가 쉽지 않은데, 그 점 주변에서 함수는 빠르게 진동하며 어떤 지수함수보다도 빠르게 증가할 수도 있기 때문입니다. 반면 극은 분석하기가 쉬우면서도 아주 유용한 쓰임새를 자랑합니다.

$$\begin{equation*} \int_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z = z_k}{\operatorname{Res}}\, f \end{equation*}$$

특히 위의 유수 공식에서 정칙함수의 선적분 값과 관련을 가지는데, 어떤 함수든 적당한 경로와 그 안에서의 극만 알고 있다면 선적분 값을 손쉽게 구할 수 있게 됩니다.

또한 한 가지 더 흥미로운 개념으로 복소로그함수가 있습니다. 이 함수는 적절한 영역에서 $1/z$의 원시함수로 정의될 수 있습니다. 이제 복소로그함수 $\log z$를 이용하여 복소수의 복소수제곱 $z^\alpha = e^{\alpha \log z}$를 정의할 수 있게 됩니다.

4장: 푸리에 변환

이 장에서는 STEIN 푸리에 해석학에서 배운 내용과 복소해석학 지식을 연결짓습니다. 솔직히 좀 뜬금없이 등장하는 느낌이라, 해당 챕터는 읽지 않아도 뒷 내용을 이해하는데 문제가 없다고 느꼈습니다. 푸리에 해석학을 미리 공부한 사람이라면 그 연결성에서 더욱 흥미를 느낄지도 모르겠지만 전 딱히 흥미를 느끼진 못했습니다. 참고로 푸리에 변환의 정의는 다음과 같습니다.

$$\begin{equation*} \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx \end{equation*}$$

이 장의 내용을 요약하면 다음과 같습니다.

실직선에 정의된 함수 $f$를 해석적 함수로 확장할 수 있으려면, $|\xi| \to \infty$에 따라 $\hat{f}(\xi)$이 매우 빠르게 (이를테면 지수함수처럼) $0$으로 수렴해야 합니다.

위 내용을 증명하는 과정에서, 푸리의 변환 적분 식의 경로를 복소평면 상에서 약간 평행이동시키는 트릭을 사용합니다. 이는 함수 $e^{-2\pi i z \xi}$가 $z$가 실수이면 단순히 진동하는 반면, $z$의 허수부가 $0$이 아니면 그 크기에 따라 지수함수적으로 증가하거나 감소하는 특징을 띄게 되기 때문입니다.

한편, 이 장에서는 경로적분을 활용하여 푸아송 합 공식

$$\begin{equation*} \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) \end{equation*}$$

도 증명합니다.

5장: 전해석함수

전해석함수는 복소평면 전체에서 정칙인 함수를 말합니다. 복소함수가 정칙이기만 해도 여러 좋은 성질들을 만족하는데, 심지어 전해석적이기까지 하니 더 좋은 성질들을 만족할 것이라고 기대할 수 있습니다. 실제로도 이 장에서는 전해석함수의 좋은 성질들을 탐구합니다.

• $d$개의 영점을 가지는 전해석함수의 증가 속도는 대략 $R^d$입니다.
  변수가 무한대로 감에 따라 함숫값은 얼마나 빠르게 증가할까요? 다항함수인 경우 대답은 꽤 간단합니다. $d$개의 영점을 가지는 다항함수 $P$의 차수는 정확히 $d$이므로, 다음이 성립합니다.

  $$\begin{equation*} \sup_{|z| = R} |P(z)| \approx R^d \quad \text{as} \; R \to \infty \end{equation*}$$

  즉, $|z|$이 무한대로 갈 때, $d$차 다항함수 $P(z)$의 증가 속도는 $R^d$에 비례합니다. 전해석함수에 대해서도 같은 사실이 성립합니다. 옌센 공식에 따르면, $d$개의 영점을 가지는 전해석함수의 증가 속도는 대략 $R^d$입니다. 이 사실은 마치 전해석함수가 다항함수만큼이나 좋은 성질을 가지고 있다고 느끼게 합니다.

• 극한점을 가지지 않는 수열이 주어지면 정확히 그 점에서만 영점을 가지는 전해석 함수가 존재합니다.
  예를 들어 정수 집합 $\mathbb{Z}$는 극한점을 가지지 않으므로, 이 집합에서만 영점을 가지는 전해석 함수 $\sin(\pi z)$가 존재합니다.

• 전해석 함수는 특정한 형태의 단순한 인수를 무시했을 떄 자신의 영점에 의해 완전히 결정됩니다.
  정수 집합 $\mathbb{Z}$에서만 영점을 가지는 전해석 함수는 오직 $e^{g(z)} \sin(\pi z)$ 꼴 뿐입니다. 이 때 $g$는 전해석 함수입니다.

6장: 감마함수와 제타함수

우리가 흔히 알고 있는 감마함수와 제타함수에 대해 파헤칩니다. 2장에서 배운 해석적 확장을 적극적으로 사용해 두 함수를 복소평면으로 확정시킵니다. 이 과정에서 각 함수에 대한 특성이 명확하게 드러납니다.

여기서 해석적 확장에 대해 간단하게 살펴보겠습니다. 예를 들어 다음과 같은 기하급수를 고려합니다.

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$$

이 무한급수는 $|z| < 1$ 일 때만 수렴합니다. 그런데 이 급수의 합을 $g(z)=1/(1-z)$으로 적으면, 새로운 함수 $g$는 $z=1$을 제외한 복소평면 전체에서 정의되는 정칙함수입니다. 즉 $g$는 $f$와 동일한 값을 가지면서 정의역이 훤씬 더 넓은 영역으로 확장된 것입니다.

또한 이러한 $g$는 유일하게 존재하는데, 만약 어떤 함수 $h$가 $\mathbb{C}-\{1\}$에서 정칙이고 $\{|z| < 1\}$에서 $f$와 같은 값을 가진다면 2장에서 다룬 항등 정리에 의해 $g \equiv h$일 수 밖에 없기 때문입니다. 이러한 과정을 통틀어 $g$는 $f$의 해석적 연속이라고 합니다.

• $1/\Gamma(s)$는 $s=0, -1, -2, \dots$ 에서만 영점을 가지는 가장 단순한 전해석함수입니다.
• 제타함수 $\zeta$는 소수와 밀접한 연관을 가집니다. 중요한 함수방정식을 통해 $\mathrm{Re}(s)=1/2$에 대한 대칭성을 확인하고, $\mathrm{Re}(s)=1$ 근방에서 $\zeta(s)$의 증가속도를 다룹니다.

7장: 제타함수와 소수정리

지금까지 배운 내용을 종합하여 소수정리를 증명합니다. 소수정리란 소수 계량 함수 $\pi(x) = \# \{ p \leq x : p \text{ is prime} \}$에 대해 $\pi(x) \sim x/\log x$, 즉

$$\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1 \end{equation*}$$

라고 주장하는 정리입니다. 이 증명은 몇 가지 단계로 이루어집니다. 우선 다음과 같이 체비셰프의 $\psi$ 함수를 정의합니다.

$$\psi(x) = \sum_{p^m \leq x} \log p$$

이 함수는 $\pi$와 유사한 성질을 가지며, 실제로 $\psi (x) \sim x \implies \pi(x) \sim x/\log x$ 가 성립합니다. 또한 $\psi_1(x) = \int_{1}^{x} \psi(u) d u$ 라 하면 $\psi_1 (x) \sim x^2/2 \implies \pi(x) \sim x/\log x$ 이기도 합니다. 이제 제타 함수 $\zeta$가 $\mathrm{Re}(s)=1$에서 근을 가지지 않는다는 사실과, 그 직선 주변에서 $\zeta(s)$ 관련 식의 경로적분을 통해 $\psi_1 (x) \sim x^2/2$를 얻습니다. 이로써 소수정리의 증명을 마칩니다.

8장: 등각사상

참고: 여기서부터는 서울대학교 복소함수론 2 강좌에 해당하는 내용입니다.

해당 장 부터는 이전까지의 내용과 분위기가 달라집니다. 그 전까지는 주로 국소적인(local) 내용을 다뤘다면, 지금부터는 대역적인(global) 내용을 다룹니다. 이 장에서 다루는 핵심 질문은 다음과 같습니다. "$\mathbb{C}$에 속하는 열린 집합 $U, V$에 대해, 두 집합 사이에 복소해석적 일대일 대응이 존재하는가?" 이는 한 집합에서의 성질들 다른 집합에서도 쓸 수 있게 해주기에 매우 중요한 질문입니다. 예를 들어 우리는 단위 원판 $\mathbb{D}$의 많은 성질에 대해 알고 있으므로, 열린 집합 $\Omega$와 단위 원판 $\mathbb{D}$ 사이에 등각사상(복소해석적 일대일 대응)이 존재한다면 $\Omega$에서의 어려운 문제를 $\mathbb{D}$에서의 쉬운 문제로 환원하여 해결할 수 있을 것입니다.

리만 사상 정리에 따르면, $\mathbb{C}$의 진부분집합인 단순연결영역이면 항상 그러한 대응이 존재합니다. 이 때 $\Omega$의 경계에 대해 어떤 제약도 없음에 주목합니다. 특히, 경계가 다각형인 경우에도 단위원판과의 등각사상이 존재합니다. 이 경우 적분은 다음과 같은 슈바르츠-크리스토펠 적분으로 주어집니다.

$$S(z) = \int_{0}^{z} \frac{d\zeta}{(\zeta - A_1)^{\beta_1} \cdots (\zeta - A_n)^{\beta_n}}$$

9장: 타원함수 입문

상수함수가 아닌 이중 주기의 유리형 함수를 타원함수라고 합니다. 이 때 두 주기는 $\mathbb{C}$ 위에서 일차독립이므로 타원함수는 일종의 격자와 연관되어있습니다. 타원함수의 대표적인 예시로 다음과 같은 바이어슈트라스 $\wp$ 함수를 다룹니다. 사실 모든 타원함수는 $\wp$와 $\wp'$의 유리함수로 나타내어진다는 사실로부터 바이어슈트라스 이론의 아름다움을 느낄 수 있습니다.

$$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda^*} \left( \frac{1}{(z + \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right)$$

한편 원점에서 함수 $\wp$에 대한 로랑 급수는 아이젠슈타인 급수의 합으로 이루어지는데, 각각의 아이젠슈타인 급수들은 약수함수를 포함하는 식으로도 표현됩니다. 이 과정을 통해 타원함수와 정수론 사이의 연관성을 예상해볼 수 있습니다.

10장: 세타함수의 응용

이 장에서는 세타함수의 이론과 그에 대한 응용에 대해 다룹니다. 이 때 세타함수는 다음과 같은 복소함수를 말합니다.

$$\begin{equation*} \Theta(z | \tau) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{\pi i n^2 \tau} e^{2\pi i n z} \end{equation*}$$

$\Theta$를 $z$에 대한 함수로 보면 주기 $1$과 준주기 $\tau$를 갖는 일종의 타원함수입니다. 한편 $\tau$에 대한 함수로 보면 $\Theta$의 모듈러 성질을 발견할 수 있습니다. 이러한 특성들을 활용하면 다음과 같은 삼중곱 공식을 얻을 수 있습니다.

$$\Theta(z|\tau) = \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})(1+q^{2n-1}e^{2 \pi i z})(1+q^{2n-1}e^{-2 \pi i z}) \quad \text{where} \; q=e^{\pi i \tau}$$

한편 $\theta(\tau)=\Theta(0|\tau)$로 정의된 함수는 두 제곱수·네 제곱수 정리의 증명에 활용될 수 있습니다. 어떤 자연수 $n$이 두 정수의 제곱의 합으로 나타내어지는 경우의 수를 $r_2 (n)$으로 나타내겠습니다. 이때 $\theta(\tau)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2}$ 이므로

$$\theta(\tau)^2 = \left( \sum_{n_1 \in \mathbb{Z}} q^{n_1^2} \right) \left( \sum_{n_2 \in \mathbb{Z}} q^{n_2^2} \right) = \sum_{(n_1, n_2) \in \mathbb{Z}^2} q^{n_1^2 + n_2^2} = \sum_{n=0}^{\infty} r_2(n) q^n$$

입니다. 따라서 세타함수의 성질들을 활용하여 아래 항등식을 증명하면 두 제곱수 정리 $r_2(n) = 4(d_1 (n)-d_3(n))$을 얻게 됩니다. 여기서 $d_1(n)$과 $d_3(n)$은 각각 $n$의 $4k+1$꼴의 약수의 개수, $4k+3$꼴의 약수의 개수입니다.

$$\theta(\tau)^2 = 2 \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{q^n + q^{-n}} = 1 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n}{1 + q^{2n}}$$

비슷한 방식으로 세타함수의 네 제곱과 관련된 항등식을 다룸으로써 네 제곱수 정리 또한 증명할 수 있습니다.

책의 전체적인 평가

전체적으로 그림과 함께 자세한 설명이 되어있어 이해하기 좋은 책이라고 생각합니다. 특히 소수정리, 두 제곱수·네 제곱수 정리와 같이 유명한 정리들의 증명이 수록되어 있어, 수학의 실용적인 면을 좋아하시는 분이라면 이 책을 재밌게 읽을 수 있을 것이라고 생각합니다. 교재 자체의 난이도는 Rudin과 비슷한 느낌이었습니다. (사실 수학 교재를 많이 본 편이 아니라 난이도 평가를 잘 못하겠습니다.)

답지 제작 후기

드디어 대학생활 내내 저를 괴롭힌 복소해석학을 물리쳤습니다. 복소해석학에 도전한건 이번이 처음이 아닙니다. 대학교 1학년 여름방학(23년 7월)에 한번, 겨울방학(24년 1월)에 한번 도전했었지만, 그럴때 마다 4장의 벽을 넘지 못하고 포기했었습니다. 그 이후로는 프로그래밍 쪽 공부에 시간을 쏟다보니 수학에 손을 못 대고 있었습니다. 군대에 온 이후 프로그래밍 개발 여건이 마땅치 않아 다시 수학 공부를 하게 되었는데, 수학 실력이 녹슬었을 것이라는 걱정이 무색하게 2달만에 공부를 끝내버렸습니다.

공부 방법에 관하여

지금 생각해보면 공부 방법이 잘못되었던 것 같다는 생각이 듭니다. 그 당시에는 이해가 안되는 내용이 있으면 절대 넘어가지 않고 이해가 될 때까지 멈춰있었습니다. 그러다보니 금세 흥미를 잃고 포기를 했던 것 같습니다. 하지만 이번에는 다음과 같은 방법으로 공부했습니다.

1. 본문의 흥미로운 부분만 읽기, 조금이라도 막히면 바로 넘어가기. 이 방식으로 책 전체를 훑는다. (본문의 1/5 이해하는 수준)
2. 이번에는 증명까지 어느정도 노력하며 읽기, 그러나 여전히 이해안되는 부분 있을경우 바로 패쓰 (본문 1/3 이해하는 수준) → 연습문제 풀기 1트
3. 모든 정리와 증명 완벽하게 이해하면서 읽기 → 연습문제 풀기 2트

이렇게 공부를 하면 다양한 장점이 있습니다. 우선 1 단계에서 흥미있는 부분만 읽기 때문에 지쳐서 포기할 일이 없습니다. 그렇다고 해서 1과정이 의미 없는것도 아닌데, 전체적인 흐름을 알고 있으므로 각 정리의 증명을 읽을 때 큰 도움이 됩니다. 또한 2 단계에서 연습문제를 풀어봄으로써 내가 어떤 부분이 부족한지 알 수 있고, 3 단계에서 본문을 복습할 때 빠진 부분 없이 공부할 수 있습니다. 물론 연습문제가 없으면 이러한 공부법을 못 쓴다는 단점이 있지만, 요즘 대부분 수학책은 연습문제가 있으므로 이런 걱정은 안해도 됩니다.

답지 제작에 관하여

답지를 만든 것에 대해서도 할 이야기가 있습니다. 공부를 시작할 때 까지만 해도 설마 답지가 없을 줄은 몰랐는데, 아무리 검색해봐도 전체 답지는 나오지 않았습니다. (어떤 중국인이 2024년 12월에 올린 답이 있긴 하지만 모두 중국어이고 논리 과정이 다소 생략되어 있었습니다.) 그래서 이럴바엔 제가 그냥 답지를 만들어보자고 생각했습니다.

제가 답지를 처음 만드는건 아니지만, 그럼에도 답지를 만드는건 쉽지 않았습니다. 타이핑을 하는데 오랜 시간이 걸리는걸 차치하더라도 (참고로 타이핑에만 순수 51시간이 걸렸습니다) 논리과정을 엄밀하게 하는 것이 제일 어려웠습니다. 종이에 풀 때는 "아 이러면 증명되겠지" 하고 넘어갔던 문제들도, 실제 답지에 타이핑을 할 때 논리의 허점이 보인 적도 있었습니다. 그래서 연습문제 풀이의 엄밀함을 기하기 위해 평소보다 시간이 2~3배는 더 든거 같습니다. 그럼에도 불구하고 답지를 만든걸 후회하지는 않는데, 학습 성취도 또한 이전과 비교할 수 없을 정도로 올라간 것이 느껴졌기 때문입니다. 문제를 엄밀하게 해설하기 위해 문제와 본문을 몇번이고 되돌아본 과정이 큰 도움이 되었습니다. 답지 제작을 다시 하게 될지는 알 수 없지만, 저에게는 분명 값진 경험으로 남을 것입니다.

앞으로..

아직 위상수학, 미분기하학, 현대대수학 등 공부해야 할 수학 분야들이 많이 남아있습니다. 그런데 어차피 복학하면 다 공부 할 내용들인데 미리 공부할 필요가 있나 싶기도 합니다. 차라리 영어, 독서 등 복학하면 하기 힘든 공부들을 해보자는 생각도 듭니다. 아무튼 이 시간들을 의미있게 보내기 위해 최선을 다해야겠습니다.