Manfredo P. do Carmo 미분기하학 교재 요약 및 풀이집 제작 후기

개요

Manfredo P. do Carmo 미분기하학 풀이집

이번에 학부 3학년 수학 중 세 번째 분야인 미분기하학의 공부를 마쳤다. 연습문제를 풀면서 굉장히 재미있으면서도 유익한 문제들이 많다고 생각했고, 공부한 내용을 정리도 할겸 내가 작성한 풀이들을 typst로 조판하여 남겨놓았다. 완성된 미분기하학 교재 솔루션은 아래 링크에서 확인할 수 있다.

Manfredo P. do Carmo 미분기하학 풀이집 바로가기: https://geniuslhs.com/solutions/do-carmo-differential-geometry.pdf

이번 글에서는 Do Carmo의 〈Differential Geometry of Curves and Surfaces〉 교재 내용을 훑어보고, 풀이집 제작 후기를 간단하게 나누려고 한다. 참고로 해당 글은 개념 정리 노트를 목적으로 쓴 글이 아니다. 책의 전체적인 흐름을 내가 느낀 방식대로 적어놓았으며 정확한 수식보다는 은유적인 표현들이 좀 더 많이 등장한다. 따라서 해당 교재를 한번도 읽어보지 않은 사람은 이해가 어려울 수도 있다. 공부를 했지만 전체적인 흐름을 잘 느끼지 못한 분들, 미분기하학 내용을 오랜만에 복습하고 싶은 분들이 읽는 것을 추천한다.

공부 기간: 11/4~12/10, 11/17~12/7 (4주)
풀이집 제작 기간: 12/13~2026/2/28 (기간상 11주, 실제 7.5주)

교재 내용 요약

1장. Curves

우선 곡선이 무엇인지에 대하여 정의한다.

Section 1-2. Definition.
A parametrized differentiable curve is a differentiable map $\alpha: I \to \mathbb{R}^3$ of an open interval $I=(a,b)$ of the real line $\mathbb{R}$ into $\mathbb{R}^3$.

생각보다 쉽다. 직관적으로 생각해봐도 곡선이라는 것은 변수 하나를 가지고 움직이는 점들로 구성되는 것이기 때문에 위와 같은 정의가 타당하다. 참고로 이 책을 통틀어 "미분가능하다"는 것(differentiable)은 무한번 미분가능함을 의미한다. 그 이유는 (tangent, curvature, torsion 등) 각 개념마다 그 개념이 well-defined 되기 위해서 $\alpha$에게 보장되어야 하는 미분 가능 횟수가 다른데, 이를 구별하기가 귀찮기 때문이다.

아무튼 곡선을 이렇게 정의하면 그 미분계수 $\alpha'(t)$가 일종의 "속도"를 의미함을 알 수 있다. 그리고 그 속도가 0이 되지 않는 곡선, 즉 모든 $t \in I$에 대해 $\alpha'(t) \neq 0$인 곡선을 regular 하다고 한다. 왜냐하면 어떤 곡선이 호의 길이로 reparametrization이 가능할 필요충분 조건이 바로 $\alpha'(t) \neq 0, t \in I$ 이기 때문이다. 일단 $\alpha'(t) = 0$인점이 없다면, $\alpha'(t)$가 1보다 작을 때는 $t$를 빨리 증가시키고, $\alpha'(t)$가 1보다 클 때는 $t$를 느리게 증가시키는 방법을 통해 $\alpha'(t)$가 항상 1이 되도록 할 수 있게 된다.

이제 호의 길이로 매개화가 된 곡선 $\alpha$를 생각하자. 이 경우에는 변수를 $t$가 아닌 $s$를 사용해서 표시한다. $|\alpha'(s)| = 1$ 이기 때문에, $\alpha'(s)$와 $\alpha''(s)$가 항상 수직함을 알 수 있다. 이제 unit tangent vector 를 $\mathbf{t} = \alpha'(s)$ 라고 하고, curvature를 $k = |\alpha''(s)|$ 라고 하자. 그러면 $\alpha''(s) = k \mathbf{n}$ 이 성립하는 unit normal vector $\mathbf{n}$이 존재함을 알 수 있다. 마지막으로 unit binormal vector $\mathbf{b}$를 $\mathbf{b} = \mathbf{t} \wedge \mathbf{n}$와 같이 정의하면 $\{\mathbf{t}, \mathbf{n}, \mathbf{b}\}$ 는 $\mathbb{R}^3$ 의 positive orthonormal basis가 되고, 이들로 이루어지는 삼각뿔을 frenet trihedron이라고 한다.
이제 $\mathbf{b}'$는 $\mathbf{n}$과 평행하므로 $\mathbf{b}' = \tau \mathbf{n}$으로 정의하면 다음과 같은 Frenet formulas도 얻을 수 있다.

$$\begin{aligned} \mathbf{t}' &= k \mathbf{n}, \\ \mathbf{n}' &= -k \mathbf{t} + \tau \mathbf{b}, \\ \mathbf{b}' &= -\tau \mathbf{n} \end{aligned}$$

여기서 $k$는 곡선이 휘어진 정도를, $\tau$는 곡선이 꼬인 정도를 의미한다. 그리고 이들만으로 곡선을 완벽하게 설명할 수 있음은 다음 정리를 통해 보 장된다.

Section 1-5. Fundamental Theorem of the local theory of curves.
Given differentiable functions $k(s) > 0$ and $\tau(s), s \in I$, there exists a regular parametrized curve $\alpha: I \to \mathbb{R}^3$ such that $s$ is the arc lenght, $k(s)$ is the curvature, and $\tau(s)$ is the torsion of $\alpha$. Moreover, any other curve $\bar{\alpha}$, satisfying the same conditions, differs from $\alpha$ by a rigid motion; that is, there exists an orthogonal linear map $\rho$ of $\mathbb{R}^3$, with positive determinant, and a vector $\mathbf{c}$ such that $\bar{\alpha} = \rho \circ \alpha + \mathbf{c}$.

2장. Regular Surfaces

regular surface(정칙 곡면)에 대하여 정의한다. 일단 선이 아니라 면이기 때문에 변수 2개로 이루어진 함수를 사용해야 할 것 같긴 한데, curve를 정의할 때처럼 간단한 방법이 잘 떠오르지 않는다. 그래서 곡면은 함수가 아니라 집합으로서 정의한다. 정확한 정의는 다음과 같다.

Section 2-2. Definition 1.
A subset $S \subset \mathbb{R}^3$ is a regular surface if, for each $p \in S$, there exists a neighborhood $V$ in $\mathbb{R}^3$ and a map $\mathbf{x}: U \to V \cap S$ of an open set $U \subset \mathbb{R}^2$ onto $V \cap S \subset \mathbb{R}^3$ such that

1. $\mathbf{x}$ is differentiable. This means that if we write

$$\mathbf{x}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), \quad (u,v) \in U$$

the functions $x(u,v), y(u,v), z(u,v)$ have continuous partial derivatives of all orders in $U$.
2. $\mathbf{x}$ is a homeomorphism. Since $\mathbf{x}$ is continuous by condition 1, this means that $\mathbf{x}$ has an inverse $\mathbf{x}^{-1}: V \cap S \to U$ which is continuous.
3. (The regularity condition.) For each $q \in U$, the differential $d\mathbf{x}_q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ is one-to-one.

1번 조건은 꽤나 당연하다. 곡면 위에서 미적분학을 다루기 위해서는 당연히 $\mathbf{x}$가 미분 가능한 함수여야 할 것이다.
2번 조건의 경우에는 다시 "일대일 대응"이라는 성질과 "역함수가 연속"이라는 두 성질로 쪼갤 수 있다. 일대일 대응이어야 한다는 것은 self-intersections를 방지하기 위한 목적이다. 그래야만 우리는 임의의 점에서 최대 한 개의 접평면이 존재한다는 것을 보장받을 수 있다. 역함수가 연속이어야 한다는 것은 조금 더 미묘한 목적을 가지고 있는데, 뒤에서 다루겠지만 이는 change of parametrization과 연관이 있다.
마지막으로 3번 조건은 각 점에서 접평면이 존재한다는 것을 보장하기 위해서 필요하다.
한가지만 첨언하자면, regular surface의 정의는 더 이상 함수가 아니라 "집합"이라는 것을 주의하자.

아무튼 그래서 뭐 좀 복잡하지만 곡면이라는걸 정의하는데는 성공했다. 그런데 위 정의만을 사용해서 어떤 곡면이 regular surface임을 직접 증명하는건 정말 복잡하고 지루한 일이다. 그래서 교재에서는 어떤 집합이 regular surface 임을 좀 더 간편하게 증명할 수 있는 여러 도구들을 소개한다.

Section 2-2. Proposition 1.
If $f: U \to \mathbb{R}$ is a differentiable function in an open set $U$ of $\mathbb{R}^2$, then the graph of $f$, that is, the subset of $\mathbb{R}^3$ given by $(x,y,f(x,y))$ for $(x,y) \in U$, is a regular surface.

간단히 말해서 $z=f(x,y)$ 꼴로 표현되는 곡면은 regular surface라는 뜻이다.

Section 2-2. Proposition 2.
If $f: U \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ is a differentiable function and $a \in f(U)$ is a regular value of $f$, then $f^{-1}(a)$ is a regular surface in $\mathbb{R}^3$.

$a$가 regular value라는 것은 $a=f(p)$ 인 critical point $p \in S$ (즉, $df_p$가 not surjective인 점 $p \in S$) 가 존재하지 않는다는 뜻이다. 예를 들어 $x^2+y^2+z^2=1$를 생각하면 $1$은 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$의 regular value이므로 unit sphere가 regular surface임을 바로 알 수 있다.

Section 2-2. Proposition 3.
Let $S \subset \mathbb{R}^3$ be a regular surface and $p \in S$, Then there exists a neighborhood $V$ of $p$ in $S$ such that $V$ is the graph of a differentiable function which has one of the following three forms: $z=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)$.

이 명제는 주어진 곡면이 regular surface인지 아닌지 판단할 때 도움이 된다. 만약에 주어진 집합의 어떤 점에서 $xy, yz, zx$ 평면으로 사영했을 때 모두 일대일이 아니라면, 이 집합은 regular surface가 아님을 알 수 있다.

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이제 곡면을 정의했으니 곡면 위에서의 미분을 정의하고 싶어졌다. 즉 함수 $f: S_1 \to S_2$ 가 점 $p \in S_1$에서 미분가능 한 것이란 무엇인가?
간단히 생각해보면 $S_1$위의 점 $p$의 근방은 parametrization $\mathbf{x}(u,v)$으로 표현이 가능하므로, 함수 $f$의 $(u,v)$에 대한 미분가능성으로 정의하면 될 것 같다.

그런데 여기서 문제가 하나 생긴다. 위 정의에 따르면, 곡면 위의 한 점이 주어졌을 때 parametrization은 하나 이상이 생길 수 있다. 즉 $\mathbf{x}(u,v)$와 $\mathbf{y}(\xi, \eta)$ 두 가지로 표현될 수 있으며, 이 때 함수 $f$의 미분가능성은 parametrization의 선택에 대해서 독립적이어야만 한다. 그리고 이를 유도하기 위해서 parametrization들 사이의 관계에 관련된 정리가 필요하게 된다.

Section 2-3. Proposition 1. (Change of parameters)
Let $p$ be a point of a regular surface $S$, and let $\mathbf{x}: U \subset \mathbb{R}^2 \to S, \mathbf{y}: V \subset \mathbb{R}^2 \to S$ be two parametrizations of $S$ such that $p \in \mathbf{x}(U) \cap \mathbf{y}(V)=W$. Then the "change of coordinates" $h=\mathbf{x}^{-1} \circ \mathbf{y} : \mathbf{y}^{-1}(W) \to \mathbf{x}^{-1}(W)$ is a diffeomorphism; that is, $h$ is differentiable and has a differentiable inverse $h^{-1}$.

그리고 이제 함수의 미분 가능성을 다음과 같이 정의하자.

Section 2-3. Definition 1.
Let $f: V \subset S \to \mathbb{R}$ be a function defined in an open subset $V$ of a regular surface $S$. Then $f$ is said to be differentiable at $p \in V$ if, for some parametrization $\mathbf{x}: U \subset \mathbb{R}^2 \to S$ with $p \in \mathbf{x}(U) \subset V$, the composition $f \circ \mathbf{x}: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ is differentiable at $\mathbf{x}^{-1}(p)$. $f$ is differentiable in $V$ if it is differentiable at all points of $V$.

그러면 $f$의 미분가능성이 parametrization에 무관함은 다음과 같이 보일 수 있다. 만약 $\mathbf{y}: V \subset \mathbb{R}^2 \to S$가 $p \in \mathbf{y}(V)$ 근방의 또 다른 parametrization이라면, $h=\mathbf{x}^{-1} \circ \mathbf{y}$ 은 diffeomorphism이고, 따라서 $f \circ \mathbf{y} = f \circ \mathbf{x} \circ h$ 또한 미분가능하다. 따라서 $f$의 미분가능성이 parametrization에 무관함이 보장된다.

지금까지 쌓아온 초석을 바탕으로 접평면 $T_p(S)$를 정의하고, 미분가능함수 $f: S_1 \to S_2$의 differential $df_p: T_p(S_1) \to T_{f(p)}(S_2)$ 을 정의한다. 이들 역시 중요한 개념들이지만 쉽게 이해할 수 있으므로 이번 글에서는 생략하겠다.

3장. The Geometry of the Gauss Map

3장에서는 Gauss Map의 성질에 대해 다룬다. 우리는 곡면 위의 각 점 $p$에서 곡면에 수직한 벡터 $N(p)$를 대응하는 함수 $N: S \to S^2$을 생각할 수 있다. 이때 이 $N$의 differential $dN_p$ 는 $T_p(S)$ 에서 $T_{N(p)}(S^2)$로 가는 함수인데, $T_{N(p)}(S^2)$라는 것은 $N(p)$와 수직한 벡터들의 모임이고, 이게 결국 $T_p(S)$와 같기 때문에 $dN_p : T_p(S) \to T_p(S)$로 생각할 수 있다. 또한 정의에 의해 이 map이 self-adjoint map임을 증명할 수 있고 따라서 이 map은 orthonormal한 eigenvector $\{e_1, e_2\}$를 가진다. 이를테면 $dN_p(e_1) = -k_1 e_1, dN_p(e_2) = -k_2 e_2$로 적을 수 있다.

여기서 $dN_p$가 의미하는 바가 무엇일까? 점 $p$에서의 임의의 접벡터 $w \in T_p(S)$에 대해, $\alpha(0)=p, \alpha'(0)=w$ 를 만족하는 곡선 $\alpha(t) \in S$가 존재하고, 이 때

$$dN_p (w) = (N \circ \alpha)'(0)$$

가 성립한다. 우변은 대충 $N$을 미분한 것이라고 읽을 수 있는데, 이는 곧 곡면이 굽은 정도라고 해석할 수 있다. 좀더 엄밀하게 말하자면 $dN_p(w)$와 $w$를 내적한 값, 즉 $\langle dN_p(w), w \rangle$를 $k_n$이라고 하고, 이를 normal curvature이라고 한다. 아까 $dN_p(e_1) = -k_1 e_1, dN_p(e_2) = -k_2 e_2$로 적었던 것을 떠올리면 $k_1$과 $k_2$는 고윳값인 normal curvature이며, 다시말해 $k_1$과 $k_2$는 점 $p$를 지나는 $S$ 위의 곡선의 $p$에서의 곡률의 최댓값과 최솟값이라고 할 수 있겠다. 그래서 이 둘의 곱 $k_1 k_2$를 Gaussian curvature $K$ 라고 하고, 평균 $(k_1+k_2)/2$ 을 mean curvature $H$라고 한다.

참고로 $K$와 $H$의 부호에 따라 점 $p$를 부르는 이름이 달라진다.

(1) Elliptic: $K > 0$
(2) Hyperbolic: $K < 0$
(3) Parabolic: $K = 0, H \neq 0$
(4) Planar: $K = H = 0$

근데 왜 이름이 저렇게 붙냐고? 왜냐하면 점 $p$에서의 접평면과 아주 살짝 떨어진 (그와 평행한) 평면과 곡면의 교집합의 자취가 위와 같기 때문이다. 예를 들어 $p$가 Elliptic point라면 $T_p(S)$를 $\epsilon$만큼 들어올려서 곡면과의 교집합을 관찰하면 타원이 된다. 이는 2차 fundamental form을 사용해서 간단하게 증명할 수 있다.

그리고 해당 챕터에서 하나 더 눈여겨봐야할 것은 바로 fundamental form이다. 여기까지 공부하면 총 2개의 fundamental form들이 나오는데, 각각의 정의는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} I_p(w) &:= \langle w, w \rangle = E(u')^2 + 2Fu'v' + G(v')^2 \\ II_p(w) &:= -\langle dN_p(w), w \rangle = e(u')^2 + 2fu'v' + g(v')^2 \end{aligned} \quad (w \in T_p(S))$$

자세한 수식 증명은 생략하고 이들의 의미를 생각해보자. 우선 first fundamental form의 계수들은 곡면 위의 길이, 각도, 넓이 등과 연관이 있다. 예를 들어 곡선의 길이는 $s = \int \sqrt{I_p(w)} dt$ 로 계산할 수 있으며, 넓이는 $A = \iint \sqrt{EG-F^2} du dv$로 계산할 수 있다. 이러한 개념들의 공통점은, 해당 곡면을 나가지 않고도 측정할 수 있는 값이라는 것이다. 곡면 위에 있는 개미들이 뽈뽈 기어다니면서 측정을 반복하면 $E, F, G$ 값을 얻어낼 수 있다. 이러한 성질들을 내재적인(intrinsic) 성질이라고 한다.
한편, 곡면 위의 점에서의 normal curvature과 $N$ 등은 곡면 위의 개미들이 측정할 수 없는 값이다. 이러한 값들은 반드시 곡면 밖의 관찰자가 측정해야 하며, 이들을 외재적인(extrinsic) 성질이라고 한다. 표로 정리해보면 다음과 같다.

구분	제1 기본 형식	제2 기본 형식
계수	$E, F, G$	$e, f, g$
예시	길이, 각도, 넓이	$N$, normal curvature
의미	곡면 위의 계량적 성질	곡면의 굽은 정도
관점	내재적(intrinsic)	외재적 (extrinsic)

이제 이 계수들을 사용하면 Gaussian curvature과 mean curvature를 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{aligned} H &= \frac{1}{2} \frac{eG - 2fF + gE}{EG - F^2} \\ K &= \frac{eg - f^2}{EG - F^2} \end{aligned}$$

그리고 주곡률 $k_1$과 $k_2$는 이차방정식 $t^2 - 2Ht + K = 0$의 두 근으로 표현된다.

4장. The Intrinsic Geometry of Surfaces

두 곡면의 first fundamental form이 같다는 것은 무슨 의미일까? 우리는 first fundamental form을 사용해서 내재적인 성질들인 length, angle, area 등을 계산할 수 있다는 것을 알고있다. 다시말해 주어진 두 곡면의 first fundamental form이 같다면, 내재적인 성질 만으로는 그 두 곡면을 구분할 수 없게 되는 것이다.

이에 대응되는 개념이 바로 isometry이다. 정의를 살펴보자.

Section. 4-2. Definition 1.
A diffeomorphism $\phi: S \to \bar{S}$ is isometry if for all $p \in S$ and all $w_1, w_2 \in T_p(S)$ we have

$$\langle w_1, w_2 \rangle = \langle d\phi_p(w_1), d\phi_p(w_2) \rangle$$

The surfaces $S$ and $\bar{S}$ are then said to be isometric.

우리가 알고 있는 first fundamental form의 정의($\langle w, w \rangle$)와는 약간 다른 꼴이지만, 결국에는 두 곡면의 first fundamental form이 같다는 것과 위 정의가 동치임을 쉽게 알 수 있다. 그리고 이 first fundamental form은 그 계수 $E, F, G$만으로 표현이 가능하기에, 결국 아래와 같은 성질이 유도된다.

Section. 4-2. Proposition
Assume the existence of parametrizations $\mathbf{x}: U \to S$ and $\bar{\mathbf{x}}: U \to \bar{S}$ such that $E=\bar{E}, F=\bar{F}, G=\bar{G}$ in $U$. Then the map $\phi = \bar{\mathbf{x}} \circ \mathbf{x}^{-1} : \mathbf{x}(U) \to \bar{S}$ is a local isometry.

그 이후에 isometry보다는 약간 약한 개념인 conformal map이라는 것도 등장한다. 이는 길이와 넓이의 보존을 보장하지 않지만 각도의 보존을 보장한다. 위와 비슷하게 논리를 전개할 수 있으며, local conformal map의 조건은 $E=\lambda^2 \bar{E}, F=\lambda^2 \bar{F}, G=\lambda^2 \bar{G}$ 이다. 마지막으로 연습문제에서 등장하는 area-preserving map은 길이와 각도의 보존을 모두 보장하지 않지만 넓이가 보존되는 map으로서, 조건은 $EG-F^2 = \bar{E}\bar{G} - \bar{F}^2$ 이다.

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우리는 위에서 내재적 성질과 외재적 성질에 대하여 다루었다. 특히 normal curvature은 외재적인 성질로서, 곡면 위의 존재는 측정할 수 없다. 따라서 주곡률들의 곱과 합인 $K$와 $H$ 또한 외재적인 성질일 것이라고 추측할 수 있다. 그러나 놀랍게도 $K$는 내재적인 성질에 포함된다. 즉, 위의 식에서 $K$는 $E, F, G, e, f, g$로 표현되었지만 사실은 $E, F, G$ 만으로 표현될 수 있다는 것이다. 위에서 $K$와 $H$를 정의했었는데, $H$는 그냥 mean curvature라는 평범한 이름이 붙었지만 $K$는 Gauss curvature이라는 특별한 이름이 붙은 이유이다.

그 증명 과정을 간략하게 살펴보자. Christoffel symbols $\Gamma^k_{ij}$는 다음과 같이 정의되고 이는 모두 $E, F, G$만의 값으로 결정된다.

$$\begin{aligned} \mathbf{x}_{uu} &= \Gamma^1_{11}\mathbf{x}_u + \Gamma^2_{11}\mathbf{x}_v + eN \\ \mathbf{x}_{uv} &= \Gamma^1_{12}\mathbf{x}_u + \Gamma^2_{12}\mathbf{x}_v + fN \\ \mathbf{x}_{vu} &= \Gamma^1_{21}\mathbf{x}_u + \Gamma^2_{21}\mathbf{x}_v + fN \\ \mathbf{x}_{vv} &= \Gamma^1_{22}\mathbf{x}_u + \Gamma^2_{22}\mathbf{x}_v + gN \end{aligned}$$

그리고 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v, N$이 linearly independent라는 조건을 사용하면 이 Christoffel symbols들과 $E, F, G, e, f, g$가 만족해야만 하는 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$K = -\frac{1}{E} \left( (\Gamma^2_{12})_u - (\Gamma^2_{11})_v + \Gamma^1_{12}\Gamma^2_{11} + \Gamma^2_{12}\Gamma^2_{12} - \Gamma^2_{11}\Gamma^2_{22} - \Gamma^1_{11}\Gamma^2_{12} \right)$$

$K$는 Christoffel symbol들과 $E, F, G$로 결정이 되고, 다시 Christoffel symbol들은 $E, F, G$만으로 정해지기 때문에, 결국 $K$는 $E, F, G$만으로 결정될 수 있는 것이다. 따라서 내재적인 성질이 된다. 그리고 local isometry는 내재적인 성질을 보존하는 map이기 때문에 다음과 같은 가우스의 빼어난 정리를 유도할 수 있다.

Sec. 4-3, THEOREMA EGREGIUM (Gauss)
The Gaussian curvature $K$ of a surface is invariant by local isometries.

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이쯤 되면 또 다른 궁금증이 생긴다. 우리는 지금까지 first fundamental form과 second fundamental form을 정의했다. 그런데 곡면을 정확하게 묘사하기 위해서는 더 많은 fundamental form이 필요하지 않을까 하는 것이다. 뭔가 third, fourth, ...등으로 이어지는 form들을 계속 만들어야 하는것 아닌가? 그에 대한 대답은 "필요 없다"이다. first fundamental form와 second fundamental form이 반드시 만족해야 하는 조건들 ($E, G > 0, EG-F^2 > 0$, Mainardi-Codazzi equations)를 만족하는 임의의 differentiable functions $E, F, G, e, f, g$에 대하여, 그들을 first fundamental form과 second fundamental form로 가지는 곡면이 (국소적으로) 유일하게 존재한다. 이를 정리로 나타내면 다음과 같다.

Section 4-3. Theorem (Bonnet)
Let $E, F, G, e, f, g$ be differentiable functions, defined in an open set $V \subset \mathbb{R}^2$, with $E > 0$ and $G > 0$. Assume that the given functions satisfy formally the Gauss and Mainardi-Codazzi equations and that $EG-F^2 > 0$. Then, for every $q \in V$ there exists a neighborhood $U \subset V$ of $q$ and a diffeomorphism $\mathbf{x}: U \to \mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^3$ such that the regular surface $\mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^3$ has $E, F, G$ and $e, f, g$ as coefficients of the first and second fundamental forms, respectively. Furthermore, if $U$ is connected and if

$$\bar{\mathbf{x}}: U \to \bar{\mathbf{x}}(U) \subset \mathbb{R}^3$$

is another diffeomorphism satisfying the same conditions, then there exist a translation $T$ and a proper linear orthogonal transformation $\rho$ in $\mathbb{R}^3$ such that $\bar{\mathbf{x}} = T \circ \rho \circ \mathbf{x}$.

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이제 책의 마지막 파트로 넘어가보자. 우리는 곡면 위에서 특수한 조건을 만족하는 곡선인 geodesic을 정의한다.

Section 4-4. Definition 8.
A nonconstant, parametrized curve $\gamma: I \to S$ is said to be geodesic at $t \in I$ if the field of its tangent vectors $\gamma'(t)$ is parallel along $\gamma$ at $t$; that is,

$$\frac{D\gamma'(t)}{dt} = 0.$$

$\gamma$ is a parametrized geodesic if it is geodesic for all $t \in I$.

여기서는 covariant derivative를 사용해서 geodesic을 정의한다. vector field $w(t)$의 covariant derivative란 $dw/dt$를 $T_p(S)$에 정사영한 벡터를 말한다. 이게 0이라는 것은 곧 $dw/dt$가 Gauss map $N$과 평행하다는 것이다. geodesic의 경우 곡선 $\gamma$의 도함수 $\gamma'$가 $D\gamma'/dt = 0$을 만족하므로 $\gamma''$가 $N$과 평행, 즉 $\mathbf{n}$이 $N$과 평행하다는 것과 동치가 된다. geodesic이라는 것은 쉽게 말해서 곡선의 normal vector $\mathbf{n}$과 곡면의 unit normal vector $N$이 항상 평행한 곡선이다.

정리해보면 다음과 같은 동치인 조건을 만족하는 곡선을 Geodesic이라고 한다.

• $\frac{D\gamma'(t)}{dt} = 0$ 를 만족하는 곡선
• $\mathbf{n}$와 $N$이 항상 평행한 곡선
• geodesic curvature $k_g$가 항상 0인 곡선

예를 들어 구의 경우 대원(원의 중심이 구의 중심과 일치하는 원)들이 geodesic이 되며, 대원이 아닌 원은 모두 geodesic이 아니다. 그렇다면 이 곡선이 왜 중요할까? 그 비밀은 Gauss-Bonnet Theorem에서 볼 수 있다.

Section 4-5. Global Gauss-Bonnet Theorem.
Let $R \subset S$ be a regular region of an oriented surface and let $C_1, \dots, C_n$ be the closed, simple, piecewise regular curves which form the boundary $\partial R$ of $R$. Suppose that each $C_i$ is positively oriented and let $\theta_1, \dots, \theta_p$ be the set of all external angles of the curves $C_1, \dots, C_n$. Then

$$\sum_{i=1}^n \int_{C_i} k_g(s) ds + \iint_R K d\sigma + \sum_{l=1}^p \theta_l = 2\pi \chi(R)$$

위 수식을 이해하기 위해 simple region인 간단한 경우(즉, $\chi(R)=1$)를 살펴보자.

Section 4-5. Cor 1.
If $R$ is a simple region of $S$, then

$$\sum_{i=0}^k \int_{s_i}^{s_{i+1}} k_g(s) ds + \iint_R K d\sigma + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2\pi$$

여기서 만약 구간의 경계가 geodesic으로만 이루어져 있다면 $k_g(s) \equiv 0$가 되어 첫 번쨰 항이 사라진다. 따라서

$$\iint_R K d\sigma + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2\pi$$

를 얻게 된다. 이제 특히 곡선이 삼각형인 경우에 각 내각을 $\varphi_i = \pi - \theta_i$ 라고 두면

$$\iint_R K d\sigma = \sum \varphi_i - \pi$$

를 얻는다. 구의 경우에는 $K \equiv 1$이므로 세 내각의 합이 $\pi + \text{area}(R)$이고, pseudo sphere의 경우 $K \equiv -1$ 이므로 세 내각의 합이 $\pi - \text{area}(R)$라는 유용한 결과를 얻는다. 더 나아가 $S$가 orientable compact surface라고 하면 다음과 같은 식을 얻는데,

Section 4-5. Corollary 2.
Let $S$ be an orientable compact surface; then

$$\iint_S K d\sigma = 2\pi \chi(S)$$

이는 곡면의 국소적인 기하학적 양($K$)의 적분이 곡면의 전역적인 위상 구조($\chi(S)$)를 결정한다는 흥미로운 관점을 제시한다.

책의 전체적인 평가

개인적으로 사람들마다 호불호가 갈릴만한 책이라고 생각한다. 일단 나의 경우에는 불호이다. 수학적으로 엄밀하지 않은 표현들이 꽤 많이 등장하며, (예를 들어 $t=t(s)$의 역함수는 $s=s(t)$다라고 서술하는 등) 또한 오타가 굉장히 많다 (곡선 C를 c로 적는 등의 대소문자 오타 포함). 또한 정리를 적을 때는 갑자기 수식을 이탤릭체가 아니라 정자로 적어서 읽기가 불편하다. 이런 이유들 때문에 커뮤니티에서는 do Carmo의 교재를 싫어하는 사람들을 심심치 않게 볼 수 있는 것 같다..

물론 그림이 있어 이해가 쉽다는 장점이 있으나 사실 이건 모든 교재가 그렇다고 생각한다. 특히 기하에 대해 다루는 미분기하학 책이라면 그림이 있는게 당연하지 않은가. 그래도 많은 예시 들을 통해서 이해를 돕고 있고, 저자가 직접 일부 문제의 힌트나 답을 주는 등 학생들을 도울려는 의지를 보여주었기 때문에 꽤나 친절(하게 보이려고 노력한) 책인 것 같다.

그리고 저자가 미국인이 아니라서 그런진 모르겠지만 다른 책들보다 영어 문법이 투박하고 친숙하다. 이를테면 Therefore, Then, Hence로 떡칠되어 있고, 긴 문장이 나오지 않는 전형적인 수학 영어이다. 그렇기에 아무리 영어에 자신이 없는 사람이라도 술술 읽을 수 있는 책이다.

풀이집 제작 후기

사실 저번 stein 복소해석학 풀이집을 제작한 직후에는 굉장히 힘들다고 느꼈기에 다시는 이런 작업을 하지 않게 될 줄 알았다. 그러나 대략 4개월만에 답지 제작을 다시 하게 되었다. 왜냐하면 이 작업을 위해서는 책의 연습문제를 완전히 풀어야만 하고, 그러면 뭔가 놓치는 것 없이 100%를 공부했다는 일종의 안정감을 느끼게 되는데 이 감정이 그리워서 다시 시작하게 된 것 같다. 그러나 이 작업은 굉장히 시간이 오래 걸리며(개념 공부만 했으면 1.5달 -> 답지 제작까지 3달) 언제까지고 그렇게 100%를 채우고 넘어갈 수는 없기에 어느정도 타협하고 넘어가는 연습도 필요할 것 같다.

한편, 현재 학부 3학년 수학 과목 4개중에 1개는 원래 외국인이 만든 답지가 있었고, 나머지 3개는 완전한 답지가 없었다. 그리고 그중에 2개를 내가 만든 상황이다. 그래서 Munkres 위상수학 교재 답지까지 만들면 재밌지 않을까 하는 생각도 들었다. 다만 만약에 만든다고 해도 가까운 미래는 아닐 것 같다. 우선 현재 세워놓은 계획 상으로 공부해보고 싶은 분야가 너무 많기 때문이다. 실해석, 호몰로지 등등 대학원 수준의 수학을 공부해보고 싶었는데, 이를 한 뒤에 시간이 남으면 26년 10월 정도부터 작업을 시작해볼수도 있지 않을까 생각한다. 다음은 현재 생각하고 있는 계획이다.

26년 03월 - 위상수학 2 (Munkres, 5주)
26년 04월 - 실해석 (Folland, Chapter 0,1,2,3,5,6 / 5주)
26년 05월 - 미분다양체 (John M.Lee)
26년 06월 - 호몰로지 (Munkres)
26년 07월 - 대수위상 (Hatcher)
26년 08월 - 함수해석 (Conway)
26년 09월 - (범주론?)
26년 10월 - (미분대수?)
26년 11월 -
26년 12월 - 찍턴
27년 01월 - 전역

이번 미분기하학 풀이집을 만들고 나서, 무료가 아니라 유료로 판매를 해볼까 고민해보기도 했다. 내가 생각할때 사람들은 어떤 상품이 무료로 제공되면 별로 그 상품의 가치에 대해서 고민해보지 않는 것 같고, 비용이 제시되어야만 그제서야 그 상품이 싼지 비싼지 평가하는 것 같다. 나는 내가 만든 풀이집이 어느 정도의 가치를 지니는지 궁금했기에 유료로 판매해보고 싶었다. (물론 돈을 벌수 있다는 이유도 있다) 그러나 현재 현역 군인이기에 겸업 금지 조항이 있어서 도전해보지는 못했다. 만약 올해 말에 Munkres 답지를 만들게 된다면 그때는 한번 가격을 매겨 가치를 평가받고 싶다.