유리수의 완비화를 통한 칸토어의 실수 구성 방법

개요

실수 $\mathbb{R}$은 굉장히 특별한 집합입니다. 실수는 "완비 순서체"라고 불리기도 하는데, 이는 완비 공리, 순서 공리, 체 공리를 만족하는 집합은 유일하다는 것을 증명할 수 있기 때문입니다.

실수가 완비 순서체임을 완전히 보이기 위해서는 유일성과 별개로 존재성을 증명해야 합니다. 실수를 구성하는 대표적인 방법인 데데킨트의 방법과 칸토어의 방법은 둘다 유리수체로부터 실수체를 구성해냅니다. 데데킨트는 유리수를 두 집합으로 나누는 Dedekind cut이라는 개념을 도입하고, 이러한 cut들이 완비성을 가지는 것을 증명함으로서 실수를 정의합니다. 반면 칸토어의 방법은 코시 수열(Cauchy sequence) 개념을 사용합니다.

데데킨트의 방법은 김홍종의 미적분학1 부록에 실려있는 내용이라 이전부터 알고 있었습니다. 이번에 <Principles of Mathematical Analysis> (baby Rudin)을 공부하면서 칸토어의 방법을 새롭게 알게 되어 간단히 정리하고자 이 글을 쓰게 되었습니다. 이 글은 연습문제 3장 24번을 참고하였습니다.

본론

1단계 : 코시 수열의 동치 관계

코시 수열의 정의는 다음과 같습니다.

거리 공간 $X$에서 수열 $\{p_n\}$이 다음 성질을 만족할 때, 코시 수열이라고 한다.
모든 양수 $\epsilon$에 대해 자연수 $N$이 존재하여, $n,m \ge N \Rarr d(p_n,p_m)< \epsilon$ 을 만족한다.

다시 말해, 코시 수열이란 수열이 진행될수록 항들 사이의 거리가 한없이 가까워지는 수열입니다. 이제 $X$에서의 두 코시 수열 $\{p_n\}$과 $\{q_n\}$에 대해서 동치 관계를 다음과 같이 정의할 것입니다.

두 코시 수열 $\{p_n\}, \{q_n\}$이 다음 관계를 만족할 때, equivalent이다.

$$\begin{equation*} \lim_{n \rarr \infty} d(p_n,q_n) = 0 \end{equation*}$$

실제로 이러한 이항관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 만족한다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다.

2단계 : $X^*$에서의 거리 함수

이제 1단계를 통해 얻은 동치류(equivalence class)들을 $X^*$라고 합시다. $X^*$의 두 원소 $P$와 $Q$에 대해서 함수 $\Delta$를 다음과 같이 정의합니다.

이렇게 정의한 함수 $\Delta$는 $\{p_n\}$이나 $\{q_n\}$이 어떤 동치인 수열로 바뀌어도 값이 똑같습니다. 또한 거리함수 $d$의 성질에 의해서 $\Delta$가 거리함수임을 쉽게 알 수 있습니다.

3단계 : $X^*$은 complete이다.

이제 $\Delta$를 거리 함수로 가지는 거리 공간 $X^*$는 완비 거리 공간(complete metric space)입니다. 이는 아래와 같은 순서대로 증명할 수 있습니다.

• $\{P_n\}$이 $X^*$에서 코시 수열이라고 하자. 그리고 각각의 수열 $P_k$를 $P_k=\{p_{kn}\}$과 같이 표기한다.
• $X$에서의 수열 $\{s_n\}$을 다음과 같이 잡는다: 모든 자연수 $n$에 대하여, $a,b \ge N \Rarr d(p_{na}, p_{nb}) < 1/n$ 인 자연수 N이 존재한다. 이는 $P_n$이 코시 수열이기 때문이다. 이제 $s_n=p_{nN}$으로 잡는다.
• $\{s_n\}$은 $X$에서 코시 수열임을 보인다.
• 따라서 $X^*$에는 $\{s_n\}$을 포함하는 동치류 $P$가 존재한다.
• 마지막으로 $\{P_n\}$이 $P$로 수렴함을 보인다.

$X^*$에서의 임의의 코시 수열이 항상 어떤 점으로 수렴함을 보였으므로 정의에 의해 $X^*$는 complete입니다.

4단계 : isometry mapping $\varphi$

마지막 단계입니다. 각각의 $p \in X$에 대하여 모든 항이 $p$인 수열을 생각할 수 있습니다. 이 코시 수열을 포함하는 $X^*$의 원소를 $P_p$라고 정의합니다. 그러면 자명하게 다음이 성립합니다.

위 식에 의해 사상 $\varphi:X \rarr X^*$은 등거리사상(isometry)가 됩니다.
추가로 $\varphi(X)$는 $X^*$에서 조밀 집합이며, 만약 $X$가 complete이라면 $\varphi(X)=X^*$ 임을 보일 수 있습니다.

$\varphi$가 등거리사상이므로 $X$와 $\varphi(X)$를 동등하게 생각합시다. 그러면 $X$가 $X^*$에 포함된 것으로 간주할 수 있습니다. 따라서 $X^*$를 $X$의 완비화(completion)라고 부릅니다.

예제

Let $X$ be the metric space whose points are the rational numbers, with the metric $d(x,y)=|x - y|$, What is the completion of this space? (연습문제 3장 25번)

$X$의 완비화는 정확히 $\mathbb{R}$과 같으며, 거리 함수는 $d(x,y)=|x - y|$로 동일합니다.
또한 실수 집합 $\mathbb{R}$은 유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 완비화라는 새로운 관점을 제시해줍니다.

소감

방학동안 뭔가 유의미한 성과를 내고 싶어서 이것 저것 공부를 해보고 있습니다. PMA를 공부하고 있는 것도 그 중 하나입니다.
사실 들리는 소문으로는 초심자 입장에서 굉장히 어려운 책이라고 해서 조금 걱정이 되었는데, 생각보다는 내용이 술술 읽혀서 다행이라고 생각 중입니다. 검색해보니 아직까지는 잘 정돈된 한국어 풀이가 없던데 기회가 되면 한번 만들어 보는것도 재미있을 것 같습니다.

수학 뿐만 아니라 프로그래밍 쪽도 조금씩 공부 중입니다. 만들어보고 싶은 사이드 프로젝트 아이디어가 여럿 있는데 구현하는데 필요한 기술부터 연마를 열심히 해야겠습니다.